Lineare Gleichungssysteme — Lernzettel Summary & Study Notes

📝 Ziel / Auftrag

Lernzettel machen: Kurz zusammenfassen, welche Grundbegriffe und Lösungsverfahren es bei linearen Gleichungssystemen (LGS) gibt, mit klaren Schritten und einem Beispiel zur Überprüfung.

✅ Inhalte, die aufgenommen werden sollen

• Definition: Was ist ein LGS mit zwei Unbekannten? (z. B. zwei lineare Gleichungen in $x$ und $y$)
• Drei Hauptverfahren: graphische Lösung, Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren
• Schritt-für-Schritt-Anleitungen für jedes Verfahren
• Beispiel mit Probe

🧭 Lernhinweise (kurz)

Erstelle kurze Tabellen für die graphische Lösung, führe die Umformungen sauber durch beim Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren und prüfe immer mit einer Einsetzung (Probe), ob die gefundene Lösung beide Gleichungen erfüllt.

📘 Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei (oder mehr) linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten, z. B. $a_1x + b_1y = c_1$ und $a_2x + b_2y = c_2$. Die Lösung ist ein Zahlenpaar $(x,y)$, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

✏️ Allgemeines Vorgehen (Kurz)

1. Variablen festlegen: z. B. $x$ = Eintritt, $y$ = CD-Preis.
2. Gleichungen aufschreiben in Normalform $a_ix + b_iy = c_i$.
3. Lösungsverfahren wählen (graphisch, gleichsetzen, einsetzen).
4. Lösung prüfen durch Einsetzen in beide Gleichungen.

📈 Graphische Lösung (Schritte)

1. Jede Gleichung nach $y$ umstellen, z. B. $y = mx + t$.
2. Für jede Gleichung eine Wertetabelle erstellen und beide Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen.
3. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung $(x,y)$. Hinweis: Parallele Geraden → keine Lösung; identische Geraden → unendlich viele Lösungen.

🔁 Gleichsetzungsverfahren (Schritte)

1. Beide Gleichungen nach derselben Variablen umstellen (z. B. beide nach $x$ oder $y$).
2. Die beiden Ausdrücke gleichsetzen: Ergebnis ist eine Gleichung nur in einer Variable.
3. Diese Gleichung lösen, dann das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um die zweite Variable zu erhalten.
4. Probe: Gefundene Werte in beide Gleichungen einsetzen und überprüfen.

🔄 Einsetzungsverfahren (Schritte)

1. Eine Gleichung nach einer Variable auflösen, z. B. $x = \text{(Ausdruck in }y\text{)}$.
2. Diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen. Nun erhält man eine Gleichung nur in $y$.
3. $y$ berechnen, dann $x$ durch Rückeinsetzen bestimmen.
4. Probe machen und Lösung angeben.

🧩 Beispiel (einfaches, ganzzahliges Beispiel)

Gegeben: $x + y = 5$ und $x - y = 1$.

• Einsetzungsverfahren (schnell): Aus erster Gleichung $x = 5 - y$. Einsetzen in zweite: $(5 - y) - y = 1$ → $5 - 2y = 1$ → $-2y = -4$ → $y = 2$. Dann $x = 5 - 2 = 3$. Lösung: $(x,y) = (3,2)$.
• Probe: Erste Gleichung $3 + 2 = 5$ ✔, zweite $3 - 2 = 1$ ✔.

⚠️ Spezialfälle und Tipps

• Keine Lösung: Die Gleichungen repräsentieren parallele Geraden (inkonsistent).
• Unendlich viele Lösungen: Beide Gleichungen sind Vielfache voneinander (abhängig).
• Für größere Systeme: Eliminationsverfahren oder Matrizen/Cramersche Regel verwenden.
• Immer eine Probe durchführen, um Rechenfehler zu entdecken.

🛠️ Nützliche Formeln / Hinweise

• Standardform: $a_1x + b_1y = c_1$, $a_2x + b_2y = c_2$.
• Gleichsetzungs- vs. Einsetzungsverfahren: Beim Gleichsetzen löst man beide nach derselben Variablen, beim Einsetzen löst man nur eine und substituiert.

✅ Zusammenfassung

Beherrsche die drei Verfahren: graphisch für Anschauung, Einsetzen für klare Umformungen, Gleichsetzen wenn beide Gleichungen leicht nach derselben Variable aufzulösen sind. Immer Ergebnis einsetzen und prüfen.